Умирает ли наше сознание вместе с телом

Сознание - так называемый эмерджентный феномен. Психическая активность - возникает на базе высших (ну и низших, но там о сознании как таковом говорить не принято) нервных процессов в мозге; и, хотя очевидно к ним не сводится - сознание порождается вполне материальным базисом и без него оперировать не может.

Насчёт Вашего возражения, что "оно должно откуда-то прийти" - это не совсем корректно. Тела, если задумаетесь, тоже в какой-то момент не было - но в результате зачатия и развития плода оно возникло, а в нём - и высокоразвитый мозг, позволяющий возникнуть сознанию.

То есть да - сознание "из ниоткуда" не появляется, но это не повод считать, что оно существует где-то в качестве отдельной и полноценной сущности вне организма. Таким образом, можно сказать, что сознание также умирает со смертью тела - пропорционально угасанию высшей нервной деятельности.

P.S.: Всё это, конечно, можете не учитывать, если не интересуетесь материалистическим и натуралистическим (научным, то есть) пониманием природы сознания.